【星ますか？オマージュ】カメコの星【数学パズル】

以下の表を見て後の問に答えなさい。

上記はとある試験における海亀中学校３年１組の受験結果を示したものである。
カメコは苦手な英語でクラスの最低点をとってしまったが、５教科の合計点はクラス単独１位であった。
この時、カメコの点数を求めなさい。

但し、以下の点に留意すること。
a)いずれの科目も最高点、最低点の者はそれぞれ1人ずつしかいないものとする。
b)最高点、最低点、平均点はいずれも海亀中学校３年１組のクラス全体の最高点、最低点、平均点である。
c)３年１組の生徒全員が全科目とも受験し、欠席や未受験、失格はない。
d)クラスの人数は40人以下とする。
e)各教科の得点は必ず整数である。
f)この問題は純粋な数学パズルであり、数学的要素以外の騙し要素は一切存在しない。
g)この問題の解答権は１回のみである。質問はできないものとする。不正解であった場合は正解を与えないが、解答を続けても構わない(代わりに良質を与える)。

※この問題はおっさんの問題文のオマージュです。

＜想定する誤った解法と解答＞
国語、数学、理科、社会の平均点を見ると、いずれもカメオとカメコの平均点となっていることが分かる。
従って海亀中学校３年１組の生徒数は２人であると考えられる。
よって、英語の平均点とカメオの得点から、カメコの得点は 64-(68-64)=60点
（または64×2-68=60点）

＊＊＊答え＊＊＊
60点…… 誤答

＜想定する正しい解法と解答＞
※数学が苦手な人はこの色の部分は読み飛ばして構わない。

条件より、カメコの点数を絞ることができる。
まず、このクラスの人数をN人とする。

ここで、
カメオの５教科の合計点は80+100+93+85+68=426点
カメコの５教科の合計点は94+88+86+97+★=365+★
また、５教科の平均点は各科目の平均点の合計に等しいので、
87+94+89.5+91+64=425.5点

(∵各教科の受験者合計点は平均点のN倍となるが、全教科の合計点は各教科のN倍の和であり、
　87N+94N+89.5N+91N+64N＝425.5Nであるので、N人での平均点はNで割って425.5点である)

カメコの英語の得点はクラスで最下位であるので、カメオ及び平均点より低いはずである。
よって、
★ ＜ 68 かつ ★ ＜64　これをまとめて　★ ＜ 64 ・・・ ①

次に、合計点は学年単独１位であるので、その合計点はカメオ及び平均点より高いはずである。
よって、
365 + ★ ＞ 426 かつ 365 + ★ ＞ 425.5　すなわちこれをまとめて　★ ＞ 61 ・・・ ②

①、②より、★に当てはまる整数は 62 または 63 である。

ところで、カメコは英語の最低点であったが、条件aよりカメコと同点者はいない。

カメコが63点であったと仮定すると、カメコ以外の受験者の点数は64点以上ということになる。
しかし、カメオが68点であることからカメオとカメコ以外が何人いても平均点が64点となることはありえない。

(厳密には、カメオとカメコ以外が全員64点であった場合、クラスの人数が60人の時、平均点は64.05点、61人の時、平均点は64.049……点となり、小数点第２位の四捨五入で64.0点となる。よって、クラスの人数が61人以上であれば平均点は64.0点となりうるが、条件dよりクラスの人数は40人以下でありこれを満たせない)

よって、カメコの英語の点数は62点しかありえない。

(この時、例えばカメオとカメコ以外に国数社理英の点数がそれぞれ87,94,89,91,63と87,94,90,91,63の生徒が1人ずついれば、平均点や順位の条件を全て満たすため、クラスの人数40人以下で条件を満たす点数の組み合わせは存在する)

＊＊＊答え＊＊＊
62点…… 正答